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エーレンフェストの定理とは?

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量子力学
ΔxΔp2{\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}

不確定性原理

序論 · 数学的定式化
背景
古典力学
前期量子論
基本概念
量子状態 · 波動関数
重ね合わせ · 可観測量
相補性 · 二重性 · 不確定性
トンネル効果 · 排他原理
エーレンフェストの定理
量子もつれ · デコヒーレンス
定式化
シュレーディンガー描像
ハイゼンベルク描像
相互作用描像
波動力学
行列力学
ファインマン経路積分
方程式
シュレーディンガー方程式
ハイゼンベルク方程式
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クライン=ゴルドン方程式
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実験
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シュテルン=ゲルラッハの実験
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シュレーディンガーの猫
爆弾検査問題
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解釈
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関連項目
散乱理論
相対論的量子力学
場の量子論
量子情報
量子カオス
科学者
ベルボームボーアボルンボースド・ブロイディラックエーレンフェストエヴェレットファインマンハイゼンベルクヨルダンクラマースフォン・ノイマンパウリプランクシュレーディンガーゾンマーフェルトヴィーンウィグナー


エーレンフェストの定理(エーレンフェストのていり、: Ehrenfest's theorem)は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式期待値を取ることで古典力学における運動方程式(に大変よく似たもの)が得られる』ことを主張している。この定理はオランダ物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。

目次

  • 1 定理の主張
  • 2 証明
  • 3 脚注
  • 4 関連項目

定理の主張

ポテンシャルU{\displaystyle U}の影響下にある質量m{\displaystyle m}の粒子Aの状態が、波動関数ψ(r){\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}であらわされているものとする。この状態にある粒子A(およびそれと同じ状態にある複数の粒子)の位置r=(x,y,z){\displaystyle {\textbf {r}}=(x,y,z)}を測定した場合に得られる『観測値の期待値』をそれぞれx{\displaystyle \langle x\rangle }y{\displaystyle \langle y\rangle }z{\displaystyle \langle z\rangle }とする。このとき、

md2dt2x=-Uxmd2dt2y=-Uymd2dt2z=-Uz{\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle x\rangle &=-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial x}}\right\rangle \\m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle y\rangle &=-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial y}}\right\rangle \\m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle z\rangle &=-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial z}}\right\rangle \end{aligned}}}

が成立する。なお、ここでは波動関数は規格化されているものとする。また、ここで、期待値を導き出す操作 {\displaystyle \langle \ \rangle }は、通常量子力学で行われている方法どおりで

x=ψ(r)xψ(r)drUx=ψ(r)Uxψ(r)dr{\displaystyle {\begin{aligned}&\langle x\rangle =\int \psi ^{*}(\mathbf {r} )x\psi (\mathbf {r} )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&\left\langle {\frac {\partial U}{\partial x}}\right\rangle =\int \psi ^{*}(\mathbf {r} ){\frac {\partial U}{\partial x}}\psi (\mathbf {r} )\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}

とする。他も同様である。

証明

まず、期待値の定義より

d2dt2r=d2dt2ψ(r,t)rψ(r,t)dr=ddt[ψtrψ+ψrψt]dr{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle &={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\int \psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {r} \psi (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}

を得る。ここでシュレーディンガー方程式より

ddt[ψtrψ+ψrψt]dr=ddt[-1i(H^ψ)rψ+ψr1i(H^ψ)]dr=1iddt[-{-22m2+U(r)}ψrψ+ψr{22m2+U(r)}ψ]dr=1iddt[22m2ψrψ-ψr22m2ψ]dr=-i2mddt[2ψrψ-ψr2ψ]dr{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} &={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[-{\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi ^{*})\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[-\left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} \left\{{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi -\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-{\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[\nabla ^{2}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi -\psi ^{*}\mathbf {r} \nabla ^{2}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}

部分積分と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると

2ψrψ dr=[ψrψ]-+-ψ(rψ)dr=-[ψ(rψ)]-++ψ2(rψ)dr=ψ(rψ+rψ)dr=[ψψ+ψ(rψ)]dr=[2ψψ+ψr2ψ]dr{\displaystyle {\begin{aligned}\int \nabla ^{2}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi \ \mathrm {d} \mathbf {r} &=[\nabla \psi ^{*}\mathbf {r} \psi ]_{-\infty }^{+\infty }-\int \nabla \psi ^{*}\nabla (\mathbf {r} \psi )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-[\psi ^{*}\nabla (\mathbf {r} \psi )]_{-\infty }^{+\infty }+\int \psi ^{*}\nabla ^{2}(\mathbf {r} \psi )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \psi ^{*}\nabla (\nabla \mathbf {r} \psi +\mathbf {r} \nabla \psi )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \left[\psi ^{*}\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla (\mathbf {r} \nabla \psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \left[2\psi ^{*}\nabla \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} \nabla ^{2}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}

これらを用いると

md2dt2r=-iddtψψdr=-i[ψtψ+ψψt]dr{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle =-i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \psi ^{*}\nabla \psi \mathrm {d} \mathbf {r} =-i\hbar \int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} }

再度シュレーディンガー方程式を用いて

-i[ψtψ+ψψt]dr=-i[-1i(H^ψ)ψ+ψ1i(H^ψ)]dr=[{-22m2+U(r)}ψψ-ψ{-22m2+U(r)}ψ]dr=-22m[2ψψ-ψ3ψ]dr+[U(r)ψψ-ψ(U(r)ψ)]dr{\displaystyle {\begin{aligned}-i\hbar \int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} &=-i\hbar \int \left[-{\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi ^{*})\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla {\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \left[\left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla \left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int \left[\nabla ^{2}\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla ^{3}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} +\int \left[U(\mathbf {r} )\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla (U(\mathbf {r} )\psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}

また部分積分を使うと、

2ψψdr=[ψψ]-+-ψ2ψdr=-[ψ2ψ]-++ψ3ψdr=ψ3ψdr{\displaystyle {\begin{aligned}\int \nabla ^{2}\psi ^{*}\nabla \psi \mathrm {d} \mathbf {r} &=[\nabla \psi ^{*}\nabla \psi ]_{-\infty }^{+\infty }-\int \nabla \psi ^{*}\nabla ^{2}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-[\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi ]_{-\infty }^{+\infty }+\int \psi ^{*}\nabla ^{3}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \psi ^{*}\nabla ^{3}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}

加えて

Uψψ-ψ(Uψ)=Uψψ-ψUψ-Uψψ=-ψUψ{\displaystyle {\begin{aligned}U\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla (U\psi )&=U\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla U\psi -U\psi ^{*}\nabla \psi \\&=-\psi ^{*}\nabla U\psi \end{aligned}}}

を用いると、

md2dt2r=-ψUψdr{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle =-\int \psi ^{*}\nabla U\psi \mathrm {d} \mathbf {r} }

を得る。この右辺の積分は、期待値の導出法からU | 

この節の加筆が望まれています。

脚注

  1. ^ 文部省日本物理学会編『学術用語集 物理学編』培風館、1990年。 ISBN 4-563-02195-4。

関連項目


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出典:wikipedia
2020/01/28 16:52

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