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フーリエ変換とは?

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関数fとその周波数領域表現f^{\displaystyle {\hat {f}}}のアニメーション。fはフーリエ級数(三角関数の線形結合)に分解される。

数学においてフーリエ変換(フーリエへんかん、: Fourier transform; FT)は、変数複素または数値関数を別の同種の関数に写す変換である。変換後の関数はもとの関数に含まれる周波数を記述し、しばしばもとの関数の周波数領域表現 (frequency domain representation) と呼ばれる。実質的に、フーリエ変換は関数を振動関数に分解する。

フーリエ変換 (FT) は他の多くの数学的な演算と同様にフーリエ解析の主題を成す。特別の場合として、もとの関数とその周波領域表現が連続かつ非有界である場合を考えることができる。「フーリエ変換」という術語は関数の周波数領域表現のことを指すこともあるし、関数を周波数領域表現へ写す変換の過程・公式を言うこともある。なおこの呼称は、19世紀フランスの数学者・物理学者で次元解析の創始者とされるジョゼフ・フーリエに由来する。

定義

可積分関数に対する定義

可積分関数 f: RC のフーリエ変換の定義として、よく用いられるものにもいくつか異なる流儀がある。本項では

f^(ξ):=-f(x)e-2πixξdx{\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx}

を定義として用いる。ここでギリシャ文字小文字の ξ は任意の実数である。

対象の関数における独立変数が物理量の場合、フーリエ変換は独立変数の次元をもとの逆数に移す。例えば、変換前の関数における独立変数 x時間の次元をもつとき、変換後の独立変数 ξ周波数の次元を持つ。あるいは、変換前の独立変数 x長さの次元をもつとき、変換後の独立変数 ξ波数の次元を持つ。この性質は定義より x ξ無次元量であることから従う。

適当な条件のもと、f はその変換 ^f からフーリエ逆変換 (inverse transform)

f(x):=-f^(ξ)e2πixξdξ{\displaystyle f(x):=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,d\xi }

によって復元することができる(x は任意の実数)。

他の定義や記法については後述する。

超関数としての定義

上記の可積分関数の定義では、次のような関数は-|f(x)|dx={\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx=\infty }のため可積分ではなく、フーリエ変換が定義できない。

f(x)=c{\displaystyle f(x)=c}(c{\displaystyle c}はゼロ以外の定数)
f(x)=xn{\displaystyle f(x)=x^{n}}(n{\displaystyle n}は自然数)
・周期関数(f(x)=0{\displaystyle f(x)=0}を除く)

そこで、フーリエ変換の定義を超関数に拡張することが行われる。

超関数とは、急減少関数(シュワルツ空間の元である関数)の列{fn(x)}n=1{\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }}であって、任意の急減少関数ϕ(x){\displaystyle \phi (x)}についてlimn-fn(x)ϕ(x)dx{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)\phi (x)dx}が存在するものを言い、 2つの急減少関数の列{fn(x)}n=1{\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }}{gn(x)}n=1{\displaystyle \{g_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }}が、任意の急減少関数ϕ(x){\displaystyle \phi (x)}についてlimn-fn(x)ϕ(x)dx=limn-gn(x)ϕ(x)dx{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)\phi (x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g_{n}(x)\phi (x)dx}が成り立つとき、{fn(x)}{\displaystyle \{f_{n}(x)\}}{gn(x)}{\displaystyle \{g_{n}(x)\}}は同一の超関数を表すものとする。

イメージとしては、超関数は関数列の極限であるが、関数列自体が超関数であり、limnfn(x){\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}が収束値を持つ必要はない。

急減少関数は可積分関数であるため、可積分関数としてのフーリエ変換が定義されるが、急減少関数のフーリエ変換は急減少関数になるという性質がある。この性質を利用し、次のように超関数のフーリエ変換が定義される。

定義: 急減少関数の列である超関数{fn(x)}n=1{\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }}のフーリエ変換は、急減少関数の列{-fn(x)e-2πixξdx}n=1{\displaystyle \{\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)e^{-2\pi ix\xi }dx\}_{n=1}^{\infty }}からなる超関数と定義される。

f(x)=c{\displaystyle f(x)=c}(c{\displaystyle c}はゼロ以外の定数)については、急減少関数の列である超関数{cexp(-x2/n)}{\displaystyle \{c\exp(-x^{2}/n)\}}を考え(limncexp(-x2/n)=c{\displaystyle \lim _{n\to \infty }c\exp(-x^{2}/n)=c}のため、任意の急減少関数ϕ(x){\displaystyle \phi (x)}についてlimn-cexp(-x2/n)ϕ(x)dx=-cϕ(x)dx{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }c\exp(-x^{2}/n)\phi (x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }c\phi (x)dx}となり広い意味で同一視可能)、そのフーリエ変換は急減少関数の列である超関数{-cexp(-x2/n-2πixξ)dx}={cexp(-nπ2ξ2)-exp(-(x+nπiξ)2/n)dx}={cnπexp(-nπ2ξ2)}{\displaystyle \{\int _{-\infty }^{\infty }c\exp(-x^{2}/n-2\pi ix\xi )dx\}=\{c\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-(x+n\pi i\xi )^{2}/n)dx\}=\{c{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})\}}となる。
ここで、ξ0{\displaystyle \xi \neq 0}のときはlimnnπexp(-nπ2ξ2)=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})=0}ξ=0{\displaystyle \xi =0}のときはlimnnπexp(-nπ2ξ2)={\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})=\infty }であり、-nπexp(-nπ2ξ2)dξ=1{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})d\xi =1}である。これはデルタ関数と言われ、f(x)=c{\displaystyle f(x)=c}のフーリエ変換は、cδ(ξ){\displaystyle c\delta (\xi )}となる。

導入

フーリエ級数」も参照

この節の記載は、フーリエ変換の「動機」についてのものであるが、フーリエ変換の理解に必須のものではなく、むしろ理解を妨げる要因(数学的に不正確な内容を含む)もあるため、注意が必要である。フーリエ変換についてのイメージを掴むには有用であるが、この節の理解に拘泥するとむしろ本質的な理解が阻害されることになる。

フーリエ変換を考える動機はフーリエ級数の研究に始まる。フーリエ級数の研究において、複雑な周期関数は単純な波動の数学的な表現である正弦関数余弦関数の和として表される。正弦や余弦の性質のおかげで、この和に現れる各波の量、フーリエ係数を積分によって計算することができる。多くの場合に、e = cos 2πθ + i sin 2πθ (オイラーの公式)を用いて、正弦関数および余弦関数の代りに基本波動 e を用いた方が便利である。この場合には多くの公式が簡単化され、本項で後述するフーリエ変換のほかの類似の定式化をあたえるという点に優位性がある。この正弦・余弦から複素指数関数への移行にはフーリエ係数が複素数値であることを要する。この複素数は、関数に含まれる波動の振幅(あるいは大きさ)と、位相(あるいは初期角)の両方を与えているものと通常は解釈される。また、この移行に際して「負の周波数」も導入される。例えば、波動 e および e はともに周期1を持つが、複素フーリエ級数においては別々の成分として取り扱われる。したがって、周波数を単純に周期の逆数と考えることはできなくなる。

フーリエ級数を以下のようにしてフーリエ変換の動機付けに用いることができる。関数 ƒ をある区間 [-L/2, L/2] の外側で 0 となるようなものとすると、任意の TL に対して ƒ を区間 [-T /2, T /2] 上のフーリエ級数に拡張できる。ここで f のフーリエ級数に現れる波動 e の係数となる cn で表される「量」は

f^(nT)=cn:=-T/2T/2e-2πinx/Tf(x)dx{\displaystyle {\hat {f}}{\Big (}{\dfrac {n}{T}}{\Big )}=c_{n}:=\int _{-T/2}^{T/2}e^{-2\pi inx/T}f(x)\,dx}

で与えられ、ƒ は公式

f(x)=1Tn=-f^(nT)e2πinx/T{\displaystyle f(x)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}{\Big (}{\dfrac {n}{T}}{\Big )}e^{2\pi inx/T}}

で与えられなければならない。ξn = n/T とおき、Δξ = (n + 1)/T - n/T = 1/T とおくと、最後の和をリーマン和

f(x)=n=-f^(nT)e2πixξnΔξ{\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}{\Big (}{\dfrac {n}{T}}{\Big )}e^{2\pi ix\xi _{n}}\Delta \xi }

として考えることができる。T → ∞ とすることにより、このリーマン和は定義節で与えられるフーリエ逆変換に収束する。適当な条件の下では、この議論をもっと明確化することができる。したがって、この場合はフーリエ級数だが、フーリエ変換は関数に含まれる個々の特定の周波数がどの程度あるかを測るものと考えることができ、それらの波動を積分(あるいは「連続和」)によって再結合して元の関数を復元することができる。

以下の画像はフーリエ変換が特定の関数に含まれる周波数を測る方法を視覚的に現したものである。関数として、(t が秒で測られる場合には)3 ヘルツで振動し、急速に 0 になる

f(t):=cos(6πt)e-πt2{\displaystyle f(t):=\cos(6\pi t)e^{-\pi t^{2}}}

を描く。この関数は特に描画しやすい実フーリエ変換をもつものとして選ばれたものであり、最初の画像はそのグラフである。^f(3) を計算するために、eƒ(t) を積分する。二枚目の画像はこの被積分関数の実部および虚部である。被積分関数の実部は殆ど常に正となる。これは ƒ(t) が負であるときには e の実部が同様に負となることによる。それらは同じ比率で振動するから、ƒ(t) が正であるときも同様に e の実部も正になる。この結果、被積分関数の実部のを積分すれば、比較的大きな数値(ここでの場合 0.5)を得ることになる。いっぽう、(^f(5) を見る場合のように)含まれない周波数を測れば、被積分関数は十分に振動し、それゆえにその積分はとても小さい値となる。一般の設定ではこれよりは少し複雑になるが、それでもフーリエ変換は関数 ƒ(t) に含まれる個々の周波数がどれくらいあるかを測るものという考え方に変わりはない。

フーリエ変換の性質

実数直線上で定義される関数 f可積分であるとは、

-|f(x)|dx<{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty }

を満たすルベーグ可測関数であることをいう。

基本性質

可積分関数 f(x), g(x), h(x) が与えられたとき、これらのフーリエ変換をそれぞれ ^f(ξ), ^g(ξ), ^h(ξ)で表す。フーリエ変換は以下の基本性質を満たす。

線型性
任意の複素数 a, b について h(x) = (x) + bg(x) であるならば
h^(ξ)=af^(ξ)+bg^(ξ){\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=a\cdot {\hat {f}}(\xi )+b\cdot {\hat {g}}(\xi )}
が成り立つ。
平行移動
任意の実数 x0 に対して h(x) = ƒ(x - x0) であるならば
h^(ξ)=e-2πix0ξf^(ξ){\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=e^{-2\pi ix_{0}\xi }{\hat {f}}(\xi )}
が成り立つ。
変調
任意の実数 ξ0 に対して h(x) = eƒ(x) ならば
h^(ξ)=f^(ξ-ξ0){\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi -\xi _{0})}
が成り立つ。
定数倍
非零実数 a に対し、h(x) = ƒ(ax) ならば
h^(ξ)=1|a|f^(ξa){\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}{\Big (}{\frac {\xi }{a}}{\Big )}}
が成り立つ。a = -1 つまり h(x) = ƒ(-x) の場合には、時間反転性 (time-reversal property)
h^(ξ)=f^(-ξ){\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(-\xi )}
が導かれる。
複素共役
f(x)複素共役 f(x) について
f¯^(ξ)=f^(-ξ)¯{\displaystyle {\hat {\overline {f}}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(-\xi )}}}
が成り立つ。
畳み込み
h(x) = (fg)(x) ならば
h^(ξ)=f^(ξ)g^(ξ){\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi )}
が成り立つ。

一様連続性とリーマン・ルベーグの補題

可積分関数のフーリエ変換は、常に成り立つというわけではない性質も持っている。可積分関数 ƒ のフーリエ変換は一様連続で

f^f1{\displaystyle \|{\hat {f}}\|_{\infty }\leq \|f\|_{1}}

を満たす。可積分関数のフーリエ変換は

f^(ξ)0 as |ξ|{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty }

であることを述べたリーマン・ルベーグの補題をも満足する。可積分函数 f のフーリエ変換 ^f は有界連続だが可積分であるとは限らず、その逆変換をルベーグ積分として書くことは一般にはできない。しかしながら、ƒ および ^f がともに可積分ならば、反転公式

f(x)=-f^(ξ)e2iπxξdξ{\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2i\pi x\xi }\,d\xi }

が殆ど全ての x において成り立つ。つまり、ƒ は右辺で定義される連続関数と殆ど至る所等しい。特に ƒ が実数直線上の連続関数として与えられたならば全ての x において等式が成り立つ。

前述の結果としてわかることは、フーリエ変換が L(R) 上単射であることである。

プランシュレルの定理とパーセバルの定理

f(x) および g(x) は可積分であるとし、そのフーリエ変換をそれぞれ ^f(ξ) および ^g(ξ) と表す。f(x) および g(x) がともに自乗可積分であるならばパーセバルの定理

-f(x)g(x)¯dx=-f^(ξ)g^(ξ)¯dξ{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi ){\overline {{\hat {g}}(\xi )}}\,d\xi }

が成立する。ここで上付きバーは複素共役を表す。

パーセバルの定理と同値なプランシュレルの定理によれば

-|f(x)|2dx=-|f^(ξ)|2dξ{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi }

が成立する。プランシュレルの定理により、L(R) に属する関数の後述する意味でのフーリエ変換を定義することが可能になる。プランシュレルの定理は、フーリエ変換はもとの量のエネルギーを保存するという自然科学における解釈を持つ。著者によってはこれらの定理のどちらともをプランシュレルの定理あるいはパーセバルの定理と呼んでいる場合があるので注意を要する。

局所コンパクトアーベル群に関する文脈におけるフーリエ変換の概念の一般の定式化についてはポントリャーギン双対の項を参照されたい。

不確定性原理

詳細は「不確定性原理」および「Hirschmanの不確定性原理」を参照

一般的に言って、f(x) が凝縮されればされるほどそのフーリエ変換 ^f はより拡散される。特に、フーリエ変換のスケール性からわかることとして、関数を x において「圧搾」するならば、そのフーリエ変換は ξ において「伸展」される。したがって、関数とそのフーリエ変換の両方ともを勝手に凝縮させることはできない。

関数とそのフーリエ変換のコンパクト化のあいだの得失評価は不確定性原理の形で定式化することができる。ƒ(x) は可積分かつ自乗可積分であると仮定する。一般性を失うことなく関数 ƒ(x) は

-|f(x)|2dx=1{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=1}

に正規化されているものと仮定してよい。このとき、プランシュレルの定理により ^f(ξ) も同様に正規化される。

x = 0 の周りでの拡散は

D0(f):=-x2|f(x) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・
出典:wikipedia
2020/04/07 01:51

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