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計量経済学とは?

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経済学

地域別の経済

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計量経済学(けいりょうけいざいがく、: econometrics)とは、経済学の理論に基づいて経済モデルを作成し、統計学の方法によってその経済モデルの妥当性に関する実証分析を行う学問である。

古典的計量経済学

系列

分析の対象となる経済系列は、次の3種類に大別される。

最小二乗法

単回帰

回帰分析」も参照
推定量の導出

実証分析は、多くの場合回帰分析を通じて行われる。回帰式の推定方法には様々なものがあり、最も基本的なものがOLS (Ordinary Least Squares)、最小二乗法である。被説明変数 Yi{\displaystyle Y_{i}} を説明変数 Xi{\displaystyle X_{i}} で表す回帰方程式、

Yi=bXi+a+ui{\displaystyle Y_{i}=bX_{i}+a+u_{i}}

を設定して、被説明変数の測定値と(説明変数の測定値および回帰式を用いて求めた)被説明変数の推定値の差(これを残差と呼ぶ)の二乗和を最小にする係数を求める。

実績値 Yi{\displaystyle Y_{i}} および推定値 Y^i=b^Xi+a^{\displaystyle {\hat {Y}}_{i}={\hat {b}}X_{i}+{\hat {a}}} との残差 U=Yi-Y^i{\displaystyle U=Y_{i}-{\hat {Y}}_{i}} の二乗和

Σ Ui2=Σ (Yi-Y^i)2{\displaystyle \Sigma \ {U_{i}}^{2}=\Sigma \ (Y_{i}-{\hat {Y}}_{i})^{2}}
=Σ (Yi-b^Xi-a^)2{\displaystyle =\Sigma \ (Y_{i}-{\hat {b}}X_{i}-{\hat {a}})^{2}}
=Σ (Yi2+(b^Xi)2+a^2-2(b^YiXi+a^Yi-a^b^Xi)){\displaystyle =\Sigma \ ({Y_{i}}^{2}+({\hat {b}}X_{i})^{2}+{\hat {a}}^{2}-2({\hat {b}}Y_{i}X_{i}+{\hat {a}}Y_{i}-{\hat {a}}{\hat {b}}X_{i}))}

が最小になるように b^{\displaystyle {\hat {b}}}a^{\displaystyle {\hat {a}}} で一次微分する。

{Σ Xi(Yi-b^Xi-a^)=0Σ (Yi-b^Xi-a^)=0{\displaystyle {\begin{cases}\Sigma \ X_{i}(Y_{i}-{\hat {b}}X_{i}-{\hat {a}})=0\\\Sigma \ (Y_{i}-{\hat {b}}X_{i}-{\hat {a}})=0\end{cases}}}

{Σ XiYi=b^Σ Xi2+a^Σ XiΣ Yi=b^Σ Xi+na^{\displaystyle {\begin{cases}\Sigma \ X_{i}Y_{i}={\hat {b}}\Sigma \ {X_{i}}^{2}+{\hat {a}}\Sigma \ X_{i}\\\Sigma \ Y_{i}={\hat {b}}\Sigma \ X_{i}+n{\hat {a}}\end{cases}}}

すると正規方程式

{Σ XiYi=b^Σ Xi2+a^Σ XiY¯=a^+b^X¯{\displaystyle {\begin{cases}\Sigma \ X_{i}Y_{i}={\hat {b}}\Sigma \ {X_{i}}^{2}+{\hat {a}}\Sigma \ X_{i}\\{\bar {Y}}={\hat {a}}+{\hat {b}}{\bar {X}}\end{cases}}}

が得られる。

Σ XiYi=b^Σ Xi2+(Y¯-b^X¯)Σ Xi{\displaystyle \Sigma \ X_{i}Y_{i}={\hat {b}}\Sigma \ {X_{i}}^{2}+({\bar {Y}}-{\hat {b}}{\bar {X}})\Sigma \ X_{i}}

b^=Σ XiYi-Y¯Σ XiΣ Xi2-X¯Σ Xi{\displaystyle {\hat {b}}={\frac {\Sigma \ X_{i}Y_{i}-{\bar {Y}}\Sigma \ X_{i}}{\Sigma \ {X_{i}}^{2}-{\bar {X}}\Sigma \ X_{i}}}}
a^=Y¯-b^X¯{\displaystyle {\hat {a}}={\bar {Y}}-{\hat {b}}{\bar {X}}}

最後に得られるのが最小二乗推定量 b^{\displaystyle {\hat {b}}}a^{\displaystyle {\hat {a}}} である。

誤差項についての標準的仮定
  1. 系列無相関
  2. 分散均一性
  3. 説明変数との無相関
  4. 正規性

のうち、1-3を満たすとき、ガウス=マルコフの定理が成立する(4は不要であることに注意せよ)。

ガウス=マルコフの定理は、上記1-3の仮定のもとで最小二乗推定量は最良線形不偏推定量 (Best Linear Unbiased Estimator) であること、つまり線形かつ不偏な推定量の中で最も望ましい性質(分散最小化・有効性)を持っていることを保証する。

詳細は「ガウス=マルコフの定理」を参照

また、多次式、指数、対数、ロジスティック方程式は、変数を1次に変形した回帰方程式で表せる。

単係数の有意性

最後に、単回帰分析によって得られた最小二乗推定量の棄却可否は、最小二乗推定量が定数項と説明変数の数の和を自由度とするt分布に従うことから、t検定によって検定される。帰無仮説で係数を0とするt値が高いほど有意である確率、つまりモデルが棄却される確率であるP値が低くなる。

統計的仮説検定の論理を厳密に辿るなれば、この検定では係数が0か否かを検定しているに過ぎず、たとえ帰無仮説を採択できなくなったとしても、それが係数が他の特定の値であることを支持している訳ではない。対立仮説の設定いかんにより、片側検定・両側検定の違いはあっても、検定していることは0かどうかということだけである。

多重回帰

説明変数を2つ以上にする場合を多重回帰または重回帰という。

回帰分析」および「重回帰分析」も参照
推定量の導出

重回帰ではスカラー表示だと式が複雑になるので、生産的ではない。行列表示で理解できれば必要十分である。

真のモデルを行列表示で

y=Xβ+ε{\displaystyle y=X\beta +\varepsilon }

としたとき、OLS推定量は

β^=(XX)-1(Xy){\displaystyle {\hat {\beta }}=(X^{\prime }X)^{-1}(X^{\prime }y)}

となる。

複数係数の有意性

多重回帰分析によって得られた複数の最小二乗推定量、すなわち係数の複数線形制約の棄却可否は、(分散不均一の場合でも)Wald検定LM検定尤度比検定によって検定可能である。これら3つの検定統計量は、全て χ2{\displaystyle \chi ^{2}} 分布するものであり、漸近的に全く同じものである。分散均一性の仮定が満たされた下では、F分布上におけるF統計量の値によって可否を定めるF検定によって検定可能である。この場合のF統計量は、Wald検定統計量と1対1に対応する。

個別係数の有意性は、単回帰と同様にt検定で見ることができる。

多重共線性

重回帰分析では多重共線性(multi-colinearity)が生じるため、係数の検定ができなくなる。ただし、係数や共分散行列の推定量の一致性を損ねないため、漸近理論を重視する最近の計量では問題視されない。

標準的仮定に関する問題

誤差項が標準的仮定を満たさず、系列相関や不均一分散、説明変数との相関などが生ずる可能性がある。こういった場合、パラメーターを推定するにあたって何らかの処方箋を講じる必要が出てくる。これは統計量の性質と不可分な関係にある。

不偏性
これは上述の3を満たしていれば、パラメーターは不偏性を満たすことになる。言い換えれば、誤差項が系列相関を持っていたり、分散が均一でない場合でも、不偏性を満たすことが可能であることを示している。
系列相関
系列相関を図る指標としてDurbin-Watson統計量があり、統計量が2の近傍から離れるかどうかで系列相関を判定する。
被説明変数の過去の値が説明変数に入っている場合、Durbin's hが用いられる。系列相関を解決する方法として、誤差項が一階の自己回帰に従わせてCochran-Orcutt法がある。ほかには最尤法が用いられる。White修正の系列相関へ対応するために拡張させたNewey-West修正を行えば、系列相関に対して頑健なt値を求めることができる。
不均一分散
不均一分散を図る指標としてWhite TestBreusch-Pagan検定が用いられる。
不均一分散を解決する方法として、Whiteの標準誤差を用いる方法や、一般化最小二乗法がある。共分散行列をWhite修正することで、不均一分散だとしても一致性のあるt値を計算することができる。最近の計量は漸近理論を重視するため、実際の実証分析の論文では、不均一分散だとしても頑健なt値(すなわちWhite修正済みのt値)を報告しており、White TestやBreusch-Pagan検定などを行っている論文はほとんど見かけない。
説明変数との相関
詳細は「操作変数法」を参照
説明変数との相関を解決する方法として、操作変数法がある。これは誤差項とは相関が低く、説明変数とは相関が高い変数を説明変数に加えることにより、誤差項との相関を低下させようとする方法である。簡単な演算により、説明変数の数と操作変数の数が等しい場合には、この方法は二段階最小二乗法と同じであることが確認される。このことより、同時方程式における二段階最小二乗法は、誤差項との相関を無くす方法であるために、同時方程式バイアスの問題を解消する働きがあることがわかる。操作変数法を用いても、不偏性は確保されない。一致性が確保されるだけである。
正規性
厳密には、誤差項が正規分布にしたがっていない場合、t検定を用いることは理論的に不可能である。ここで理論的と書いたのは、大標本においては中心極限定理によりt検定を用いることが保証されるからである(ただし、分散が存在しない場合は正規分布に分布収束しない)。
正規性の検定には、古くからコルモゴロフ・スミルノフ検定が用いられており、これは現在でも改めてその有用性が評価されている。他にはJarque and Beraによる検定統計量もある。いずれも χ2{\displaystyle \chi ^{2}} 分布に従う統計量である。

標準的仮定が崩れた場合として以上のような対処法がある訳だが、漸近理論を重視する近年の計量では、最初から標準的仮定が崩れた世界を想定し、推定を行っている。「説明変数との相関」が存在しないことが確信できる場合は、White修正やNewey-West修正し、確信できない場合は操作変数法に頼るのが最近の流れである。操作変数法の場合にも、White修正やNewey-West修正を行い頑健な分析を行うのが一般的である。このような流れの背景には、漸近理論を重視し、推定量の効率性について軽視する計量経済学の流れがある。上記にあるような対処法は、標準的仮定を満たす世界を作ろうとする努力といえるが、その努力の理由はOLS推定量が最良線形不偏推定量(Best Linear Unbiased Estimator; BLUE)になるからである。すなわち、OLS推定量の効率性を得たいのである。漸近理論重視の計量経済学では、効率性と正しく仮説検定を行えることのトレードオフで、後者を重視している。よって、標準的仮定を満たす世界を作ろうとする努力は、最近ではそもそも行われていない。

原系列に関する問題

ダミー変数
原系列に問題が出た場合の対処方法の1つにダミー変数(Dummy variable)を用いる方法がある。
ダミー変数には大きく分けて以下4通りある。
異常値ダミー
異常値については、異常値ダミーを用いる。
季節ダミー
季節変化については、季節ダミーを用いる。例えば4半期毎のダミーを入れる場合がある。
構造変化
構造変化についても、ダミーを用いる。構造変化はChow検定で検定する。
グループ分け
グループ分けについても、ダミーを用いる。グループ分けの例として男女間で分けるなどがある。
切断された原系列
切断されたデータにはトービットモデルを当てはめる。トービットモデルの項参照。

定式化に関する問題

定式化に関しては、様々な検定方法が提唱されている。なかでもHausman検定は有名である。

入れ子型仮説と非入れ子型仮説

入れ子型とは、次のような式を指していう。

Yi=β1+β2X2t+ϵt{\displaystyle Y_{i}=\beta _{1}+\beta _{2}X_{2t}+\epsilon _{t}}
Yi=β1+β2X2t+β3X3t+ϵt{\displaystyle Y_{i}=\beta _{1}+\beta _{2}X_{2t}+\beta _{3}X_{3t}+\epsilon _{t}}

もし下の式において β3=0{\displaystyle \beta _{3}=0} であれば、両方の式は同一になる。このように、一方の式が他方の式の特殊形として表される場合、入れ子型という。この場合、β3=0{\displaystyle \beta _{3}=0}t検定することによって、いずれの定式化が正しいかを判断することができる。

しかしながら、以下のような場合は通常のt検定を用いることはできない。

Yi=β1+β2X2t+ϵ1t{\displaystyle Y_{i}=\beta _{1}+\beta _{2}X_{2t}+\epsilon _{1t}}
Yi=γ1+γ2Z2t+ϵ2t{\displaystyle Y_{i}=\gamma _{1}+\gamma _{2}Z_{2t}+\epsilon _{2t}}

この場合、互いに特殊形となっていない。これを非入れ子型という。非入れ子型の検定方法としては、古くはCox (1961)による分布族の比較による検定が提唱され、後にPesaran (1974)によって回帰分析への応用が可能となった。しかし、いずれも計算方法が煩雑であるという問題点があった。

そこでDavidson and MacKinnon (1981) がJ検定と呼ばれる検定統計量を開発し、現在では広く一般的に用いられている。これは通常のt検定を用いることが可能であるが、検定力が低いという欠点を持っている点は注意に値する。

その他の推定方法など

ロジットモデル (Logit model)

2値系列を階級別に、階級が高くなるほど一定の漸近線に近づいていく累積密度曲線 (logit curve) を推定したモデルである。例えば年収に対する車所有割合といった二値系列をこのモデルで推計するため、アンケート分析に用いられることが多い。

ロジスティック回帰」も参照

プロビットモデル (Probit model)

ロジットモデル (Logit model) では誤差項(撹乱項)にロジスティック分布を仮定するのに対して、プロビットモデル (Probit model) では誤差項(撹乱項)に標準正規分布を仮定する。両者の違いはこれだけである。

プロビット」および「en:Probit model」も参照

トービットモデル (Tobit model)

系列が切断されている場合に、切断された系列を復元して求めた回帰モデルである。

en:Tobit model」も参照

一般化モーメント法 (Generalized Method of Moments)

母集団に関するモーメント条件に対応する標本モーメント条件が、成立するように推定する計量手法。モーメント条件の数が推定すべきパラメータ数と同じ場合が、モーメント法 (Method of Moments) である。しかし、モーメント条件の数のほうが推定すべきパラメータ数よりも多い場合でも推定可能であり、この意味でモーメント法を一般化した推定方法であることから、一般化モーメント法 (Generalized Method of Moments) と呼ばれる。しばしばGMMと略記される。OLS推定量やIV推定量なども、GMM推定量の特殊ケースとして解釈することが可能である。

GMMはかなり一般的な仮定の下で一致性をもって推定を行える上に、GMMが登場する前にあった多くの推定量をその特殊ケースとして解釈できることから、非常に有用な広範なクラスの推定量と言える。GMMが登場することによって、それまでは実証が困難と考えられていた複雑な非線形モデルも、直接実証することが可能となった。

一般化モーメント法」も参照

一般化経験尤度法 (Generalized Empirical Likelihood)

ポストGMMとして、計量経済学の理論研究者の間で盛んに研究が行われている推定量。

en:Empirical likelihood」も参照

最尤法

以下に最尤法の基本的な考え方を説明する。

通常の古典的計量経済分析においては、パラメーターは未知の固定された値であり、データが確率変数であると解釈する。すなわち、我々が手にするデータは背後にある(観測できない)母集団から確率を伴って発生された数値である、と解釈する(厳密には確率変数とは実数値関数であるが、ここでは説明の便宜上このように記しておく)。

例えば最小二乗法では、残差平方和を計算し、それを未知パラメーターで偏微分して推定量を求める。ここでは、あくまでもデータが確率変数であることに注意しておこう。一方、最尤法ではデータは固定された値であり、未知パラメーターが確率変数であると解釈する。

このように解釈する背後には、次のような考え方が存在しているとされる。われわれが観測できたデータは、母集団にある(とされる)データ発生メカニズムから最大の確率を伴って発生されたものである。尤度とは確率の言い換えに過ぎないとすれば、その尤度が最大の状態で未知パラメーターを求めることができれば、それが最尤推定量になる。

実際の計算方法としては、まず尤度関数を導出する。簡単化のために関数の対数をとり、対数尤度関数を導く(対数関数は単調増加関数であるので、尤度関数の最大化と対数尤度関数のそれとは同値である)。ここでは簡単に単純回帰を例に説明しよう。

まず以下の式を考える:

Yt=α+βXt+ϵt{\displaystyle Y_{t}=\alpha +\beta X_{t}+\epsilon _{t}}

ここで古典的計量分析では Yt{\displaystyle Y_{t}}Xt{\displaystyle X_{t}} は本来、確率変数であるが、最尤法ではこれらを定数と見なす。したがって、この式では ϵt{\displaystyle \epsilon _{t}} のみが確率変数である。そこで、この式を ϵt{\displaystyle \epsilon _{t}} の式と読み替えるために、以下のように書き換える:

ϵt=Yt-α-βXt{\displaystyle \epsilon _{t}=Y_{t}-\alpha -\beta X_{t}}

ここで ϵt{\displaystyle \epsilon _{t}} が正規分布に従っていると仮定すれば、変数変換を用いることにより右辺も正規分布の確率密度関数の中に組み込むことができる。密度関数は確率を与える関数であるので、それを最大にするようなパラメーター α{\displaystyle \alpha }β{\displaystyle \beta } とが最尤推定量となる。

最尤法」も参照

同時・連立方程式体系

複数の回帰式によって表される同時方程式モデル連立方程式モデルがある。複数の構造型モデルを一般化したのが誘導型モデルである。これは経済モデルである構造型の多項式の中の内生変数外生変数でといた物である。つまり、内生変数を外生変数のみで表したものである。期間内の推定を内挿、期間外の推定を外挿と呼ぶ。モデルが発散せずに収束するかファイナルテストを行なってモデルを完成させる。識別制約、すなわち同時方程式バイアスが発生する場合がある。モデル式の中の内生変数がモデル全体での外生変数の数から1を引いた自由度と等しいとき丁度識別されるという。少ないときは過剰識別、多いときは過少識別されるという。

詳細は「en:Simultaneous equations model」を参照
マクロ計量モデル
同時方程式モデルと連立方程式モデルを多数組み合わせてマクロ経済変数のパラメーターを変えることによって政策の効果を計るのがマクロ計量モデルである。実務的なマクロモデルの推定では識別制約は無視される場合が多い。
en:Macroeconomic model」および「en:Large-scale macroeconometric model」も参照
一般均衡モデル
レオンチェフ体系の他に、ワルラスの一般均衡を精緻化したミクロ的基礎を持つラムゼイモデルなどの推計モデルをケインズ的基礎をおくマクロ計量モデルと対比させて一般均衡モデルと呼ぶ。
一般均衡」も参照

時系列計量経済学

定常系列と非定常系列

時系列分析では単時系列と復時(パネル)系列を用いる。系列には定常データと非定常データがある。系列が単位根や共和分を持つかどうかが問題となる。

単位根と共和分

1960年代まで、古典的計量分析において時系列データを用いた回帰分析では、データそのものに対する考察はほとんどなく、そのまま最小二乗法などが適用されていた。主にマクロ計量分析では、高い決定係数を示す分析結果が多く、それは結果の妥当性を示すものと認識されていた。

これに対し1970年代に入ると、Grangerが無関係なランダム・ウォークに従う変数同士を回帰させた場合、無関係にもかかわらず、回帰係数の値が統計的に0でない値になり、高い決定係数を示し、同時に低いDurbin-Watson統計量を示すことをモンテカルロ分析から明らかにした。この結果の意味することは、1970年代以前に計量経済学で検証されてきた様々な経済モデルが統計的には全く意味がない可能性があるということである。この画期的な論文を発表する前は、計量経済学者および統計学者か

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出典:wikipedia
2020/08/14 05:46

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