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運動エネルギーとは?

歴史
分野

静力学 · 動力学 / 物理学における動力学 · 運動学 · 応用力学 · 天体力学 · 連続体力学 · 統計力学


定式化

基本概念

空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 基準系 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 力学的仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理


主要項目

剛体 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転運動 · 等速円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度


科学者

アイザック・ニュートン · エレミア・ホロックス · レオンハルト・オイラー · ジャン・ル・ロン・ダランベール · アレクシス・クレロー · ジョゼフ=ルイ・ラグランジュ · ピエール=シモン・ラプラス · ウィリアム・ローワン・ハミルトン · シメオン・ドニ・ポアソン




運動エネルギー(うんどうエネルギー、英語: kinetic energy)は、物体運動に伴うエネルギーである。物体の速度を変化させる際に必要な仕事である。英語の kinetic は、「運動」を意味するギリシア語κίνησις(kinesis)に由来する。この用語は1850年頃ウィリアム・トムソンによって初めて用いられた。

質点の運動エネルギー

ニュートン力学において、物体の運動エネルギーは、物体の質量速さの二乗に比例する。 つまり、速度 v で運動する質量 m の物体の運動エネルギー K は、

K=12mv2{\displaystyle K={\frac {1}{2}}mv^{2}}

で与えられる。

ニュートンの運動方程式

mdvdt=F(t){\displaystyle m{\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}(t)}

と表されているとき、この力 F が時刻 t0 から t1 の間に為す仕事 Wt0t1{\displaystyle W_{t_{0}\to t_{1}}} は、

Wt0t1=t0t1(F(t)dxdt)dt=t0t1(mdvdtv(t))dt=t0t1ddt(12mvv)dt=t0t1dKdtdt=K(t1)-K(t0){\displaystyle {\begin{aligned}W_{t_{0}\to t_{1}}&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\boldsymbol {F}}(t)\cdot {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(m{\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}\cdot {\boldsymbol {v}}(t)\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {dK}{dt}}\,dt\\&=K(t_{1})-K(t_{0})\end{aligned}}}

となる。 従って、物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい

特に物体に一定の力 F が加えられ、物体の位置が x{\displaystyle {\boldsymbol {x}}} から x+Δx{\displaystyle {\boldsymbol {x}}+\Delta {\boldsymbol {x}}} まで、Δx{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {x}}} だけ変化したとき、

12mv2(t1)-12mv2(t0)=FΔx{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}(t_{1})-{\frac {1}{2}}mv^{2}(t_{0})={\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {x}}}

という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で自由落下する場合、重力加速度は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。 また、力F を物体の質量m と加速度 α の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。

v2(t1)-v2(t0)=2αΔx.{\displaystyle v^{2}(t_{1})-v^{2}(t_{0})=2{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \Delta {\boldsymbol {x}}.}

回転運動の運動エネルギー

同様に回転運動をする物体の運動エネルギーは、慣性モーメント I角速度 ω の2乗に比例する。であるから

K=12Iω2{\displaystyle K={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}

解析力学における運動エネルギー

ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン L は運動エネルギー Kポテンシャルエネルギー V の差として定義することができる。

L(q,q˙;t)=K(q˙)-V(q){\displaystyle L(q,{\dot {q}};t)=K({\dot {q}})-V(q)}

この際、ラグランジアンの変数は一般化座標 q(t){\displaystyle q(t)} とその時間微分 q˙(t){\displaystyle {\dot {q}}(t)}、及び時刻 t{\displaystyle t} である。 多くの場合、一般化座標として位置 x{\displaystyle x} や 回転角 θ{\displaystyle \theta } とするので、運動エネルギーは

K=i12mivi2+j12Iiωj2{\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2}}I_{i}{\omega _{j}}^{2}}

となる。

ハミルトン力学の出発点となるハミルトニアンH はラグランジアンのルジャンドル変換から、

H(q,p;t)=pq˙-L{\displaystyle H(q,p;t)=\sum p{\dot {q}}-L}

として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標 q(t){\displaystyle q(t)} と一般化運動量 p(t){\displaystyle p(t)} である。元のラグランジアンでポテンシャルが q˙(t){\displaystyle {\dot {q}}(t)} に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、

pi(t)=Lvi=mivi{\displaystyle p_{i}(t)={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}=m_{i}v_{i}}
lj(t)=Lωj=Ijωj{\displaystyle l_{j}(t)={\frac {\partial L}{\partial \omega _{j}}}=I_{j}\omega _{j}}

( l は回転角度 θ に共役な角運動量)となり、運動エネルギーは

K=i12mipi2+j12Ijlj2{\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{p_{i}}^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2I_{j}}}{l_{j}}^{2}}

となる。

脚注

  1. ^ v は速度 v の大きさを表す。

参考文献


関連項目

・・・・・・・・・・・・・・・・・・
出典:wikipedia
2020/07/11 01:12

HAPPY Wikipedia

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